Question

8．各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有7项．

Answer 1

分析 通过写出首项的平方与其余各项之和的表达式，利用一个数的平方最小为0，化简即可．

解答 解：${{a}_{1}}^{2}$+a₂+a₃+…+a_n=${{a}_{1}}^{2}$+n²+n（a₁-1）-a₁
=${{a}_{1}}^{2}$+（n-1）（a₁+n）
=${{a}_{1}}^{2}$+（n-1）a₁+n（n-1）
=（a₁+$\frac{n-1}{2}$）²+n（n-1）-$\frac{（n-1）^{2}}{4}$
=（a₁+$\frac{n-1}{2}$）²+$\frac{（n-1）（3n+1）}{4}$≤33，
为了使得n尽量大，故（a₁+$\frac{n-1}{2}$）²=0，
∴$\frac{（n-1）（3n+1）}{4}$≤33，
∴（n-1）（3n+1）≤132，
当n=6时，5×19＜132，
当n=7时，6×22=132，
∴n_max=7，
故答案为：7．

点评 本题考查求数列的项数，考查计算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．