Question

3．已知函数f（x）=aln（1+x）-aln（1-x）-x-$\frac{x^3}{{3（1-{x^2}）}}$．
（1）当0＜x＜1时，f（x）＜0，求实数a的取值范围；
（2）证明：$\frac{3}{2}$ln2+$\frac{5}{2}$ln$\frac{3}{2}$+…+（n+$\frac{1}{2}$）ln$\frac{n+1}{n}$＜n+$\frac{1}{12}$•$\frac{n}{（n+1）}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用判别式分类讨论，结合函数的单调性，即可求实数a的取值范围；
（2）先确定$\frac{1}{2}$ln$\frac{n+1}{n}$-$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{12（2n+1）（{n}^{2}+n）}$，裂项累加可得结论．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{-2{x}^{4}+（3-6a）{x}^{2}+6a-3}{3（1-{x}^{2}）^{2}}$，…（1分）
依题知f（0）=0，故f′（x）≤0，则a≤$\frac{1}{2}$．…（2分）
令g（x）=-2x²+（3-6a）x+6a-3，x∈（0，1]，△=（6a-3）（6a+5）
①-$\frac{5}{6}$$≤a≤\frac{1}{2}$，△≤0，此时g（x）≤0，故f′（x）≤0，而f（0）=0，所以-$\frac{5}{6}$$≤a≤\frac{1}{2}$符合题意．…（4分）
②a＜-$\frac{5}{6}$，△＞0，而g（x）对称轴x=$\frac{3-6a}{4}$＞2，故g（x）在（0，1）单调递增且g（1）=-2，则g（x）＜0，故f′（x）≤0，而f（0）=0，所以a＜-$\frac{5}{6}$符合题意．…（6分）
综上，a≤$\frac{1}{2}$．…（7分）
（2）证明：由（1）知，当a=$\frac{1}{2}$，0＜x＜1时，f（x）＜0，
即$\frac{1}{2}$ln$\frac{1+x}{1-x}$-x＜$\frac{{x}^{3}}{3（1-{x}^{2}）}$．…（8分）
令x=$\frac{1}{2n+1}$（n∈N^*），则$\frac{1}{2}$ln$\frac{n+1}{n}$-$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{12（2n+1）（{n}^{2}+n）}$，（10分）
裂项累加（n+$\frac{1}{2}$）ln$\frac{n+1}{n}$-1＜$\frac{1}{12}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
所以$\frac{3}{2}$ln2+$\frac{5}{2}$ln$\frac{3}{2}$+…+（n+$\frac{1}{2}$）ln$\frac{n+1}{n}$＜n+$\frac{1}{12}$•$\frac{n}{（n+1）}$．（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确运用导数的关键．