Question

13．已知在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，若SB⊥AC，SA=SC．
（1）求证：平面SBD⊥平面ABCD；
（2）若AB=2，SB=3，cos∠SCB=-$\frac{1}{8}$，∠SAC=60°，求四棱锥S-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥平面SBD，即可证明平面SBD⊥平面ABCD；
（2）确定底面ABCD是菱形，求出SC，SO，BO，即可求四棱锥S-ABCD的体积．

解答 （1）证明：设AC∩BD=O，连接SO，则
∵SA=SC，∴AC⊥SO，
∵SB⊥AC，SO∩SB=S，
∴AC⊥平面SBD，
∵AC?平面ABCD，
∴平面SBD⊥平面ABCD；
（2）解：由（1）知，SO⊥平面ABCD，AC⊥BD，∴底面ABCD是菱形，
∴BC=AB=2，
∵SB=3，cos∠SCB=-$\frac{1}{8}$，
∴由余弦定理可得SC=2，
∵∠SAC=60°，
∴△SAC是等边三角形，
∴SO=$\sqrt{3}$，
∴BO=$\sqrt{6}$，
∴V_S-ABCD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{6}×\sqrt{3}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查求四棱锥S-ABCD的体积，考查线面、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．