Question

10．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），离心率为$\frac{1}{2}$，
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l过椭圆E的右焦点F，且交椭圆E于A、B两点，是否存在实数λ，使得|AF|+|BF|=λ|AF|•|BF|恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过将点P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程，利用$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$及b²+c²=a²，计算即得结论；
（2）分直线l斜率不存在、存在两种情况讨论．当直线的斜率存在时设其方程为y=k（x-1）并与同意方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式及椭圆定义，计算$\frac{|AB|}{|AF|•|BF|}$即可．

解答 解：（1）由椭圆E过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b²+c²=a²，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）结论：存在实数$λ=\frac{4}{3}$，使得|AF|+|BF|=λ|AF|•|BF|恒成立．
理由如下：
若直线l斜率不存在，则可得A（1，$\frac{3}{2}$）、B（1，-$\frac{3}{2}$），
于是λ=$\frac{|AF|+|BF|}{|AF|•|BF|}$=$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$；
若直线的斜率存在，设其方程为：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，可得（3+4k²）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理可得：
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
|AF|•|BF|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{k}^{2}（{x}_{1}-1）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{k}^{2}（{x}_{1}-1）^{2}}$
=（1+k²）|x₁x₂-（x₁+x₂）+1|
=$\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{|AF|+|BF|}{|AF|•|BF|}$=$\frac{|AB|}{|AF|•|BF|}$=$\frac{\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}{\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{4}{3}$；
综上所述，|AF|+|BF|=$\frac{4}{3}$|AF|•|BF|，
即存在实数$λ=\frac{4}{3}$，使得|AF|+|BF|=λ|AF|•|BF|恒成立．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．