Question

14．我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=$\overline{x（{a}_{1}）（{a}_{2}）（{a}_{3}）…（{a}_{n-1}）（{a}_{n}）}$．如：A=$\overline{2（-1）（3）（-2）（1）}$，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，a_k+1=$\frac{1}{{1-{a_k}}}，k∈{N^*}$，b_n=$\overline{2（{a}_{1}）（{a}_{2}）（{a}_{3}）…（{a}_{3n-2}）（{a}_{3n-1}）（{a}_{3n}）}$（n∈N^*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，d_n=$\overline{2（{C}_{n}^{1}）（{C}_{n}^{2}）（{C}_{n}^{3}）…（{C}_{n}^{n-1}）（{C}_{n}^{n}）}$，求$\lim_{n→∞}\frac{d_n}{{{d_{n+1}}}}$．

Answer 1

分析 （1）化简m，由新定义即可得到所求；
（2）分别求得数列的前几项，可得数列是周期为3的数列，假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，${b_n}=p•{8^n}+q$总成立，化简整理，运用等比数列的求和公式，计算即可得到；
（3）由新定义化简整理，运用二项式定理，结合数列极限的求法，即可得到．

解答 解：（1）m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³
则m=$\overline{x（1）（-2）（3）（-6）}$；
（2）${a_2}=-1，{a_3}=\frac{1}{2}，{a_4}=2，{a_5}=-1，{a_6}=\frac{1}{2}$，
∵${a_{n+1}}=\frac{1}{{1-{a_n}}}$∴${a_{n+2}}=\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{1-\frac{1}{{1-{a_n}}}}}=\frac{{1-{a_n}}}{{-{a_n}}}$
∴${a_{n+3}}=\frac{1}{{1-{a_{n+2}}}}=\frac{1}{{1+\frac{{1-{a_n}}}{a_n}}}$=a_n（n∈N*），
则{a_n}是周期为3的数列，
假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，${b_n}=p•{8^n}+q$总成立，
则b_n=$\overline{2（{a}_{1}）（{a}_{2}）（{a}_{3}）…（{a}_{3n-2}）（{a}_{3n-1}）（{a}_{3n}）}$
=$[2+（-1）×2+\frac{1}{2}×{2^2}]+[2×{2^3}+（-1）×{2^4}+\frac{1}{2}×{2^5}]$$+…+[2×{2^{3n-3}}+（-1）×{2^{3n-2}}+\frac{1}{2}×{2^{3n-1}}]$
=$[2+（-1）×2+\frac{1}{2}×{2^2}]×（1+{2^3}+{2^6}+…+{2^{3n-3}}）$=$2×\frac{{1-{8^n}}}{1-8}=\frac{2}{7}×{8^n}-\frac{2}{7}$，
∴$p=\frac{2}{7}，q=-\frac{2}{7}$．
即存在实常数$p=\frac{2}{7}，q=-\frac{2}{7}$，对于任意的n∈N*，${b_n}=\frac{2}{7}•{8^n}-\frac{2}{7}$总成立；    
（3）d_n=$\overline{2（{C}_{n}^{1}）（{C}_{n}^{2}）（{C}_{n}^{3}）…（{C}_{n}^{n-1}）（{C}_{n}^{n}）}$=${C}_{n}^{1}$+2${C}_{n}^{2}$+4${C}_{n}^{3}$+…+2^n-1${C}_{n}^{n}$
=$\frac{{2C}_{n}^{1}+{4C}_{n}^{2}+…+{{2}^{n}C}_{n}^{n}}{2}$=$\frac{{C}_{n}^{0}{+2C}_{n}^{1}+…+{{2}^{n}C}_{n}^{n}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1），
∴$\lim_{n→∞}\frac{d_n}{{{d_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，同时考查数列的周期性和二项式定理的运用，以及数列极限的求法，考查运算能力，具有一定的综合性．