Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，椭圆上的点到焦点的最大距离1+$\sqrt{2}$
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过X轴上一点M（m，0）（0＜m＜a）的直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的范围和对称性，可得b=c，a+c=1+$\sqrt{2}$，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论直线l的斜率不存在，设出直线l的方程，求得圆的方程，求得定点T，讨论直线l的斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和圆的性质，结合向量垂直的条件，即可得到存在定点T．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F₁（c，0），
依题意得：$\left\{{\begin{array}{l}{b=c}\\{a+c=1+\sqrt{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=1}\\{c=1}\end{array}}\right.$，
所以，椭圆方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=m，
由$\frac{m^2}{2}+{y^2}=1$，得：${y^2}=1-\frac{m^2}{2}$，
此时以AB为直径的圆的方程为：${（x-m）^2}+{y^2}=1-\frac{m^2}{2}…（1）$，
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0，
此时以AB为直径的圆的方程为：x²+y²=2…（2）
要使定点T存在，可知方程（1），（2）联立方程组只有一解，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2m}+\frac{3}{4}m}\\{y=0}\end{array}}\right.$，
$\left\{{\begin{array}{l}{{{（\frac{1}{2m}+\frac{3}{4}m）}^2}=2}\\{0＜m＜\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，解得$m=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
所以点M的坐标为$（\frac{{\sqrt{2}}}{3}，0）$时，可能椭圆上存在定点$T（\sqrt{2}，0）$满足题意．
当过点$M（\frac{{\sqrt{2}}}{3}，0）$直线l斜率存在时，存在定点$T（\sqrt{2}，0）$满足题意，
设直线l的方程为：$x=ky+\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=ky+\frac{{\sqrt{2}}}{3}}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得：$（{k^2}+2）{y^2}+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}ky-\frac{16}{9}=0$，
$△=\frac{8}{9}{k^2}+\frac{64}{9}（{k^2}+2）＞0$，${y_1}+{y_2}=-\frac{{2\sqrt{2}k}}{{3（{k^2}+2）}}，{y_1}•{y_2}=-\frac{16}{{9（{k^2}+2）}}$，
此时，$\overrightarrow{TA}=（{x_1}-\sqrt{2}，{y_1}），\overrightarrow{TB}=（{x_2}-\sqrt{2}，{y_2}）$，$\overrightarrow{TA}•\overrightarrow{TB}=（{k^2}+1）{y_1}{y_2}-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}k（{y_1}+{y_2}）+\frac{8}{9}=（{k^2}+1）[-\frac{16}{{9（{k^2}+2）}}]-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}k[-\frac{{2\sqrt{2}k}}{{3（{k^2}+2）}}]+\frac{8}{9}=0$，
因此，过点$M（\frac{{\sqrt{2}}}{3}，0）$直线l斜率存在时，以AB为直径的圆过定点$T（\sqrt{2}，0）$．
综上所述：存在定点$T（\sqrt{2}，0）$满足题意．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．