Question

17．设抛物线C：x²=4y的焦点为F，已知点A在抛物线C上，以F为圆心，FA为半径的圆交此抛物线的准线于B，D两点，且A、B、F三点在同一条直线上，则直线AB的方程为y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．

Answer 1

分析 设A（m，$\frac{1}{4}$m²），F（0，1），由点A，B关于点F对称得B的坐标，代入准线方程，求得m，进而得到直线AB的方程．

解答 解：抛物线C：x²=4y的焦点为F（0，1），
设A（m，$\frac{1}{4}$m²），
由题意可得，A，B关于F对称，
可得B（-m，2-$\frac{1}{4}$m²），
代入准线方程y=-1，可得2-$\frac{1}{4}$m²=-1，
解得m=±2$\sqrt{3}$，
可得AB的斜率为k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有直线AB的方程为y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．
故答案为：y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线和准线的方程的运用，考查中点坐标公式和直线的方程的求法，属于中档题．