Question

6．已知三棱锥P-ABC的顶点P、A、B、C都在半径为$\sqrt{3}$的球面上，若AB=BC=AC且PA、PB、PC两互相垂直，点P在底面ABC的投影位于△ABC的几何中心，则球心到截面ABC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算．

解答 解：∵正三棱锥P-ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，
∵球O的半径为$\sqrt{3}$，
∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2，
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}$S_△ABC×h=$\frac{1}{3}$S_△PAB×PC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×2=$\frac{4}{3}$，
△ABC为边长为2$\sqrt{2}$的正三角形，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2$\sqrt{2}$）²=2$\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{V}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题．