Question

17．已知函数f（x）=xe^tx-e^x+1，其中t∈R，e=2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）当t=0时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：当t＜1-$\frac{1}{e}$时，方程f（x）=1无实数根；
（Ⅲ）若函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当t=0时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）先确定原方程无负实数根，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，求出函数的值域，方程f（x）=1无实数根，等价于1-t∉（-∞，$\frac{1}{e}$]，即可证明结论；
（Ⅲ）利用函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，确定t＜1，再分类讨论，即可求实数t的取值范围．

解答 （Ⅰ）解：当t=0时，f（x）=x-e^x+1，
∴f′（x）=1-e^x，
∴x＜0，f′（x）＞0；x＞0，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴函数f（x）的最大值为f（0）=0；
（Ⅱ）证明：由f（x）=1，可得x=e^x（1-t）＞0，
∴原方程无负实数根，
故有$\frac{lnx}{x}$=1-t．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
∴函数g（x）的最大值为g（e）=$\frac{1}{e}$，
∴函数g（x）的值域为（-∞，$\frac{1}{e}$]；
方程f（x）=1无实数根，等价于1-t∉（-∞，$\frac{1}{e}$]，
∴1-t＞$\frac{1}{e}$，
∴t＜1-$\frac{1}{e}$，
∴当t＜1-$\frac{1}{e}$时，方程f（x）=1无实数根；
（Ⅲ）解：f′（x）=e^tx[1+tx-e^（1-t）x]
由题设，x＞0，f′（x）≤0，
不妨取x=1，则f′（1）=e^t（1+t-e^1-t）≤0，
t≥1时，e^1-t≤1，1+t≤2，不成立，∴t＜1．
①t≤$\frac{1}{2}$，x＞0时，f′（x）=e^tx[1+tx-e^（1-t）x]≤${e}^{\frac{x}{2}}$（1+$\frac{x}{2}$-${e}^{\frac{x}{2}}$），
由（Ⅰ）知，x-e^x+1＜0，∴1+$\frac{x}{2}$-${e}^{\frac{x}{2}}$＜0，∴f′（x）＜0，
∴函数f（x）是（0，+∞）内的减函数；
②$\frac{1}{2}$＜t＜1，$\frac{t}{1-t}$＞1，∴$\frac{1}{1-t}$ln$\frac{t}{1-t}$＞0，
令h（x）=1+tx-e^（1-t）x，则h（0）=0，h′（x）=（1-t）[$\frac{t}{1-t}$-e^（1-t）x]
0＜x＜$\frac{1}{1-t}$ln$\frac{t}{1-t}$，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{1-t}$ln$\frac{t}{1-t}$）上单调递增，
∴h（x）＞h（0）=0，此时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{1-t}$ln$\frac{t}{1-t}$）上单调递增，有f（x）＞f（0）=0与题设矛盾，
综上，当且仅当t≤$\frac{1}{2}$时，函数f（x）是（0，+∞）内的减函数．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，难度大．