Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆C的右焦点F和抛物线G：y²=4x的焦点相同．
（1）求椭圆C的方程．
（2）如图，已知直线l：y=kx+2与椭圆C及抛物线G都有两个不同的公共点，且直线l与椭圆C交于A，B两点；过焦点F的直线l′与抛物线G交于C，D两点，记$λ=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和抛物线的焦点，以及a，b，c的关系，即可得到椭圆的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），联立直线方程和椭圆方程，以及直线方程和抛物线方程运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）椭圆的离心率$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
所以椭圆中的c=1，a=2，b²=3．所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=kx+2}\end{array}}\right.$，消去y可得（3+4k²）x²+16kx+4=0（①），
由${△_1}={（16k）^2}-4×4×（3+4{k^2}）＞0$解得$k＜-\frac{1}{2}$或$k＞\frac{1}{2}$；
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=kx+2}\end{array}}\right.$消去y可得k²x²+4（k-1）x+4=0，
由${△_2}=16{（k-1）^2}-16{k^2}＞0$
解得$k＜\frac{1}{2}$，所以$k＜-\frac{1}{2}$．             
由①可得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{3+4{k^2}}}}\\{{x_1}•{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$，
y₁•y₂=（kx₁+2）•（kx₂+2）=k²x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4=$\frac{{12-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{16-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
当l'的斜率不存在时，C（1，2），D（1，-2），此时，$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}=-3$；
当l'的斜率存在时，设l'的方程为y=m（x-1），（m≠0），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=m（x-1）}\end{array}}\right.$消去y可得m²x²-（2m²+4）x+m²=0，
所以x₃•x₄=1，${y_3}{y_4}=-4\sqrt{{x_1}{x_2}}=-4$，
所以$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}=-3$，
则λ=$\frac{{16-12{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+3$=$\frac{25}{{3+4{k^2}}}$，
因为$k＜-\frac{1}{2}$，所以${k^2}＞\frac{1}{4}$，
所以$0＜λ＜\frac{25}{4}$．

点评 本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和抛物线的焦点，同时考查直线和椭圆方程联立，直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题和易错题．