Question

16．如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=$\sqrt{2}$，D是PC的中点
（1）证明：AB⊥PC；
（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用直线平面的垂直来证明得出AB⊥平面PEC，再利用转为直线直线的垂直证明．
（2）作出AD与平面ABC所成角的角，转化为三角形求解即可．

解答 证明：（1）取AB中点E，
∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形
∴CE⊥AB，PE⊥AB，
∵CE∩PE=E，
∴∵PC?平面PEC
∴AB⊥PC
解：（2）∵$PE=CE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴角形PEC为正三角形，
过P作PO⊥CE，则PO⊥平面ABC，
过D作DH平行PO，则DH⊥平面ABC，
连AH，则∠DAH为所求角
$PO=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，$DH=\frac{{\sqrt{6}}}{8}，AD=\frac{{\sqrt{14}}}{4}$，$sin∠DAH=\frac{DH}{AD}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．

点评 本题考查了直线平面的垂直问题，空间平面的转化思想，分析问题的能力，属于中档题，但是难度不大．