Question

1．已知函数f（x）=sinx•（2cosx-sinx）+cos²x．
（1）讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性；
（2）设$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，且$f（α）=-\frac{{5\sqrt{2}}}{13}$，求sin2α的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，由整体法可得单调性；
（2）由已知数据易得$sin（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{5}{13}$，进而由同角三角函数基本关系可得$cos（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{12}{13}$，而sin2α=$sin[（2α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2α+\frac{π}{4}）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（2α+\frac{π}{4}）$，代值计算可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=2sinxcosx-sin²x+cos²x
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
由x∈[0，π]可得$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{9π}{4}]$，
当$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$即$x∈[0，\frac{π}{8}]$时，f（x）递增；
当$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$即$x∈[\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}]$时，f（x）递减；
当$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{3π}{2}，\frac{9π}{4}]$即$x∈[\frac{5π}{8}，π]$时，f（x）递增．
综上可得函数f（x）在区间$[0，\frac{π}{8}]$、$[\frac{5π}{8}，π]$上递增，在区间$[\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}]$上递减；
（2）由$f（α）=-\frac{{5\sqrt{2}}}{13}$可得$\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{{5\sqrt{2}}}{13}$，解得$sin（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{5}{13}$，
∵$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{3π}{4}＜2α+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，∴$cos（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{12}{13}$，
∴sin2α=$sin[（2α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2α+\frac{π}{4}）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos（2α+\frac{π}{4}）$
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（-\frac{5}{13}）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（-\frac{12}{13}）=\frac{{7\sqrt{2}}}{26}$．

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及三角函数的单调性和和差角的公式，属中档题．