Question

12．已知圆A：（x+1）²+y²=$\frac{49}{4}$，圆B：（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$，动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，
（1）记动圆圆心D的轨迹为曲线C，求C的方程；
（2）M?N是曲线C和x轴的两个交点，P是曲线C上异于M?N的一点，求证k_PM．k_PN为定值；
（3）过B点作两条互相垂直的直线l₁，l₂分别交曲线C于E?F?G?H，求四边形EGFH面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得DA+DB=4，即可求C的方程；
（2）由题意可得，M（-2，0），N（2，0），设P（x₀，y₀），求出斜率，即可得出k_PM．k_PN为定值；
（3）联立直线方程和椭圆方程，求出EF?GH，可得四边形EGFH面积，换元，即可得出取值范围．

解答 解：（1）设动圆圆心D（x，y），半径为r，由动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，可得DA+DB=4，（2分）
则D是以AB为焦点的椭圆，$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$，所以曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．--3分
（2）由题意可得，M（-2，0），N（2，0），设P（x₀，y₀），则有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，
那么k_PM•k_PN=$\frac{y_0}{{{x_0}+2}}•\frac{y_0}{{{x_0}-2}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=-\frac{3}{4}$---------（6分）
（3）（Ⅰ）当l₁、l₂中有一条斜率不存在时，不妨设l₁⊥x轴，则l₂与x轴重合．则EF=3，MN=4，
所以${S_{四边形EGFH}}=\frac{1}{2}EF•GH=6$．--------------------------（7分）
（Ⅱ）当l₁、l₂的斜率均存在时，不妨设l₁的斜率为k（k≠0），则l₂的斜率为$-\frac{1}{k}$，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），
因为B（1，0），所以联立直线方程和椭圆方程，
有$\left\{\begin{array}{l}{l_1}：y=k（{x-1}）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.⇒（{3+4{k^2}}）{x^2}-8{k^2}x+4{k^2}-12=0$，得${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，------（8分）
所以$EF=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{12（{1+{k^2}}）}}{{3+4{k^2}}}$将k换为$-\frac{1}{k}$，有x₃+x₄=$\frac{8}{3{k}^{2}+4}$，x₃x₄=$\frac{4-12{k}^{2}}{3{k}^{2}+4}$，GH=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+4}$，
则S_EGFH=$\frac{1}{2}EF•GH$=$\frac{72（1+{k}^{2}）^{2}}{（3+4{k}^{2}）（3{k}^{2}+4）}$，-----------------（10分）
设t=1+k²，则t＞1，那么S_EGFH=$\frac{72{t}^{2}}{（4t-1）（3t+1）}$=$\frac{72{t}^{2}}{12{t}^{2}+t-1}$=$\frac{72}{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{49}{4}}$
当t=2，即k=±1时，S_EGFH取最小值$\frac{288}{49}$，当t→+∞时，S_EGFH→6．
综上所述，四边形EGFH面积的取值范围为$[{\frac{288}{49}，6}]$．----------------------（12分）

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查四边形面积的计算，属于中档题．