Question

4．PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095-2012，PM 2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标．从某自然保护区2014年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

PM 2.5日均值（微克/立方米）	[25，35]	（35，45]	（45，55]	（55，65]	（65，75]	（75，85]
频数	3	1	1	1	1	3

（1）从这10天的PM 2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（3）以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）．

Answer 1

分析 （1）结合题意可知，符合独立重复试验的概率的特点，选择公式即可求解；
（2）依据条件，ξ服从超几何分布，其中N=10，M=3，n=3，代入公式即可求解；
（3）先求出一年中每天空气质量达到一级或二级的概率，即可求解．

解答 解：（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则$P（A）=\frac{C_3^1•C_7^2}{{C_{10}^3}}=\frac{21}{40}$
答：恰有一天空气质量达到一级的概率为$\frac{21}{40}$
（2）依据条件，ξ服从超几何分布，其中N=10，M=3，n=3，
ξ的可能取值为0，1，2，3，$P（ξ=k）=\frac{{C_3^kC_7^{3-k}}}{{C_{10}^3}}（k=0，1，2，3）$，
其分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

（3）依题意可知，10天中每天空气质量达到一级或二级的天数有7天，即10天中空气质量达到一级或二级的概率为P=$\frac{7}{10}$
设一年中空气质量达到一级或二级的天数为365×$\frac{7}{10}$≈256，
∴估计一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级．

点评 本题主要考查了离散型随机变量的分布列、期望的求解，解题关键是准确判断概率模型，求解相应的概率．