Question

14．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴极坐标，曲线C₁的方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosα}\\{y=\sqrt{2}+sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₂的方程：$ρ=\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$．
（1）求曲线C₁和曲线C₂的直角坐标系方程；
（2）从C₂上任意一点P作曲线C₁的切线，设切点为Q，求切线长PQ的最小值及此时点P的极坐标．

Answer 1

分析 （I）利用sin²α+cos²α=1可把曲线曲线C₁的方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosα}\\{y=\sqrt{2}+sinα}\end{array}\right.$（α为参数），化为直角坐标方程．由曲线C₂的方程：$ρ=\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$．展开化为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）=8$，代入$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可化为直角坐标方程．
（II）根据题意设曲线C₁的圆心为M，则|PQ|=$\sqrt{|PM{|}^{2}-1}$，当|PQ|最短时，|PM|最小，当PM⊥C₂时，|PM|最短，利用点到直线的距离公式距离可得|PM|，即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosα}\\{y=\sqrt{2}+sinα}\end{array}\right.$（α为参数），可得$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}=1$．
由曲线C₂的方程：$ρ=\frac{8}{sin（θ+\frac{π}{4}）}$．展开化为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）=8$，化为x+y-8$\sqrt{2}$=0．
（II）根据题意设曲线C₁的圆心为M，则|PQ|=$\sqrt{|PM{|}^{2}-1}$，当|PQ|最短时，|PM|最小，
当PM⊥C₂时，|PM|最短，此时|PM|=$\frac{|\sqrt{2}+\sqrt{2}-8\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=6，
此时PM的直线方程为y=x，可得P$（4\sqrt{2}，4\sqrt{2}）$．
化为极坐标P$（8，\frac{π}{4}）$，|PQ|的最小值=$\sqrt{{6}^{2}-1}$=$\sqrt{35}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．