Question

19．在极坐标系中，已知点P的极坐标为（4，$\frac{π}{3}$）．
（1）若极点不变，将极轴顺时针旋转$\frac{π}{6}$，求点P在新坐标系中的极坐标；
（2）将极点已知O′（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）处，极轴方向不变，求点P在新坐标系中的极坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得则点P在新坐标系中极径不变，极角比原来增大$\frac{π}{6}$，由此可得点P在新坐标系中的极坐标．
（2）（2）将极点已知O′（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）处，极轴方向不变，数形结合求得OP的值以及∠x′O′P的值，可得点P在新坐标系下的极坐标．

解答 解：（1）已知点P的极坐标为（4，$\frac{π}{3}$），若极点不变，将极轴顺时针旋转$\frac{π}{6}$，
则点P在新坐标系中极径不变，极角比原来增大$\frac{π}{6}$，故点P在新坐标系中的极坐标为（4，$\frac{π}{2}$）．
（2）将极点已知O′（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）处，极轴方向不变，如图所示：A是OP直线和x′轴的交点，
则由题意可得OP=4，OO′=2$\sqrt{3}$，∠xOO′=$\frac{π}{6}$=∠OO′A，∠xOP=$\frac{π}{3}$，
利用余弦定理求得O′P=$\sqrt{{OP}^{2}{+OO′}^{2}-2OP•OO′cos∠O′OP}$=$\sqrt{16+12-2•4•2\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴OP²+O′P²=OO′²，∴∠PO′O=$\frac{π}{2}$，∴∠PO′A=∠PO′O-∠OO′A=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
∴点P在新坐标系下的辐角主值为∠x′O′P=π-∠PO′A=$\frac{2π}{3}$，
故点P在新坐标系下的极坐标为（2，$\frac{2π}{3}$）．

点评 本题主要考查点的极坐标和直角坐标的互化，坐标系的平移，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．