Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$，若方程f（x）=a有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
则x₃（₁x+x₂）+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$的取值范围是（-1，1]．

Answer 1

分析 作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$的图象，由图象可得x₁+x₂=-2，x₃x₄=1；1＜x₄≤2；从而化简x₃（₁x+x₂）+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$，再利用函数的单调性求出它的取值范围．

解答 解：作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$的图象，
∵方程f（x）=a有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，
且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
由图可知a＜1，x₁+x₂=-2．
∵-log₂（x₃）=log₂（x₄）=a，∴x₃x₄=1；
∵0＜log₂（x₄）＜1，∴1＜x₄≤2．
故x₃（x₁+x₂）+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$=-$\frac{2}{{x}_{4}}$+x₄，
其在1＜x₄≤2上是增函数，
故-2+1＜-$\frac{2}{{x}_{4}}$+x₄≤-1+2；
即-1＜-$\frac{2}{{x}_{4}}$+x₄≤1；
故答案为：（-1，1]．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数零点与方程的根的关系，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．