Question

12．已知四棱锥P-ABCD底面是平行四边形，E，F分别为AD，PC的中点，EF⊥BD，2AP=2AB=AD，以AD为直径的圆经过点B
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若AB=PB，求二面角C-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 解：（1）取PB中点G，连接AG，FG，由已知数据易证BD⊥平面PAB，进而由面面垂直的判定定理可得平面PAB⊥平面ABCD；
（2）以B为原点，BA为x轴，BD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，向量法可得平面BEF的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，3），平面CBE的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，0，1），由向量的夹角公式可得法向量夹角的余弦值，既得答案．

解答 解：（1）取PB中点G，连接AG，FG，
由三角形的中位线定理可得FG∥BC且FG=$\frac{1}{2}$BC，
∵AE∥BC且AE=$\frac{1}{2}$BC，∴FG∥AE且FG=AE，
∴AEFG是平行四边形，∴EF∥AG，
又EF⊥BD，∴AG⊥BD，
由直径所对的圆周角为90°可得∠ABD=90°，∴BD⊥AB，
又∵AG∩AB=A，∴BD⊥平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD；
（2）以B为原点，BA为x轴，BD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
令AB=2，则B（0，0，0），A（2，0，0），D（0，2$\sqrt{3}$，0），P（1，0，$\sqrt{3}$），C（-2，2$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BD}$）=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（-$\sqrt{3}$，0，1），
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BE}=x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{EF}=-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$可得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，3），
又∵平面CBE的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴二面角C-BE-F的余弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查空间向量与立体几何，涉及面面垂直的判定和二面角的问题，属中档题．