Question

2．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{S_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式a_n；
（Ⅲ）若数列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知的数列递推式得到S_n+1+1=3（S_n+1），即可说明{S_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得S_n，当n=1时，求得a₁=S₁=2．当n＞1时，由a_n=S_n-S_n-1求得通项公式a_n；
（Ⅲ）由数列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$是首项为1，公差为2的等差数列求其通项公式，代入a_n可得数列{b_n}的通项公式．

解答 （Ⅰ）证明：∵S_n+1=3S_n+2，S_n+1+1=3（S_n+1），
又S₁+1=3，
∴{S_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得${S_n}={3^n}-1，n∈{N^*}$．
当n=1时，a₁=S₁=2．
当n＞1时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{3^n}-1）-（{3^{n-1}}-1）$
=3^n-1（3-1）=2×3^n-1．
故${a_n}=2×{3^{n-1}}，n∈{N^*}$；
（Ⅲ）解：∵数列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$是首项为1，公差为2的等差数列，
∴$\frac{b_n}{a_n}=1+2（n-1）=2n-1$，
∴${b_n}=2（2n-1）•{3^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是中档题．