Question

7．（x²+x-$\frac{1}{x}$）⁶的展开式中的常数项是-5．

Answer 1

分析 把原式后两项组合展开二项式定理，然后求出每一项中的常数项作和得答案．

解答 解：由（x²+x-$\frac{1}{x}$）⁶=$[{x}^{2}+（x-\frac{1}{x}）]^{6}$
=${C}_{6}^{0}（{x}^{2}）^{6}（x-\frac{1}{x}）^{0}+{C}_{6}^{1}（{x}^{2}）^{5}（x-\frac{1}{x}）$$+{C}_{6}^{2}（{x}^{2}）^{4}（x-\frac{1}{x}）^{2}+{C}_{6}^{3}（{x}^{2}）^{3}（x-\frac{1}{x}）^{3}$$+{C}_{6}^{4}（{x}^{2}）^{2}（x-\frac{1}{x}）^{4}+{C}_{6}^{5}（{x}^{2}）^{1}（x-\frac{1}{x}）^{5}$$+{C}_{6}^{6}（{x}^{2}）^{0}（x-\frac{1}{x}）^{6}$．
∵$（x-\frac{1}{x}）^{4}$中含有x^-4的项为${C}_{4}^{4}{x}^{0}（-\frac{1}{x}）^{4}={x}^{-4}$，
$（x-\frac{1}{x}）^{5}$中含有x^-2的项不存在，
$（x-\frac{1}{x}）^{6}$中的常数项为${C}_{6}^{3}{x}^{3}（-\frac{1}{x}）^{3}=-{C}_{6}^{3}$．
∴（x²+x-$\frac{1}{x}$）⁶的展开式中的常数项是${C}_{6}^{4}-{C}_{6}^{3}=-5$．
故答案为：-5．

点评 本题考查了二项式系数的性质，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了计算能力，是中档题．