Question

17．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，下顶点和上顶点分别为B₁，B₂，以B₁为圆心，B₁B₂为半径的圆恰好经过点F且与直线3x-4y+6=0相切，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 利用已知条件列出方程组，求出椭圆的几何量，即可求解椭圆的方程．

解答 解：设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，下顶点和上顶点分别为B₁（0，b），B₂（0，-b），以B₁为圆心，B₁B₂为半径的圆恰好经过点F且与直线3x-4y+6=0相切，
可得：2b=a，$\frac{|-4b+6|}{\sqrt{{3}^{2}+（{-4）}^{2}}}=2b$，
解得：b=$\frac{3}{7}$，a=$\frac{6}{7}$，
所求椭圆方程为：$\frac{49{x}^{2}}{9}+\frac{49{y}^{2}}{36}=1$．
故答案为：$\frac{49{x}^{2}}{9}+\frac{49{y}^{2}}{36}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查椭圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查计算能力．