Question

2．设数列{a_n}（n=1，2，3…）的前n项和S_n，满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件S_n满足S_n=2a_n-a₁，求得数列{a_n}为等比数列，且公比q=2；再根据a₁，a₂+1，a₃成等差数列，求得首项的值，可得数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由于$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用等比数列的前n项和公式求得数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由已知S_n=2a_n-a₁，有
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n≥2），
即a_n=2a_n-1（n≥2），
从而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁．
又因为a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1）
所以a₁+4a₁=2（2a₁+1），
解得：a₁=2．
所以，数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
故a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
所以T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．