Question

14．设F₁，F₂分别为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|=2．
（Ⅰ）若椭圆E的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F₂P与y轴相交于点Q．若以PQ为直径的圆经过点F₁，证明：点P在直线x+y-2=0上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过题意可得A（-a，0）、B（0，b），利用|AB|=2、$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，计算即可；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），由题意知x₀≠c，利用${k}_{{F}_{1}P}$•${k}_{{F}_{1}Q}$=-1、$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4-{a}^{2}}$=1，x₀、y₀＞0，计算即可．

解答 （Ⅰ）解：∵点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，
∴A（-a，0），B（0，b），
又∵|AB|=2，∴a²+b²=4，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）证明：由题意知a²+b²=4，从而椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}$=1，
则F₁（-c，0），F₂（c，0），c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-4}$，
设P（x₀，y₀），由题意知x₀≠c，
则直线F₁P的斜率${k}_{{F}_{1}P}$=$\frac{{y}_{0}}{c+{x}_{0}}$，直线F₂P的斜率${k}_{{F}_{2}P}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$，
∴直线F₂P的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$（x-c），
当x=0时，y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$c，即点Q（0，-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$c），
∴直线F₁Q的斜率${k}_{{F}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$，
∵以PQ为直径的圆经过点F₁，
∴PF₁⊥F₁Q，∴${k}_{{F}_{1}P}$•${k}_{{F}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{c+{x}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}}{c-{x}_{0}}$=-1，
化简得：${{y}_{0}}^{2}$=${{x}_{0}}^{2}$-（2a²-4），①
又∵P为椭圆E上一点，且在第一象限内，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4-{a}^{2}}$=1，x₀、y₀＞0，②
由①②，解得x₀=$\frac{{a}^{2}}{2}$，y₀=2-$\frac{1}{2}$a²，
∴x₀+y₀=2，即点P在直线x+y-2=0上．

点评 本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与圆的位置关系、斜率等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．