Question

19．已知a，b∈R，a²-2ab+5b²=4，则a+b的取值范围为$[{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 设a+b=t，得b=t-a，代入a²-2ab+5b²=4后化为关于a的一元二次方程，由a有实根得判别式大于等于0，转化为关于t的不等式得答案．

解答 解：设a+b=t，则b=t-a，
代入a²-2ab+5b²=4，得a²-2a（t-a）+5（t-a）²-4=0，
整理得：8a²-12at+5t²-4=0．
由△=（-12t）²-32（5t²-4）≥0，得t²≤8．
即$-2\sqrt{2}≤t≤2\sqrt{2}$．
∴a+b的取值范围为$[{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}]$．
故答案为：$[{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}]$．

点评 本题给出关于正数a、b的等式，求a+b的最小值．考查了利用换元法和一元二次方程有实根求解参数范围问题，考查数学转化思想方法，属于中档题．