Question

3．动直线y=k（x-$\sqrt{2}$）与曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，k的值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得动直线y=k（x-$\sqrt{2}$）过定点（$\sqrt{2}$，0），曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$表示单位圆x²+y²=1的上半圆，可得当∠AOB=$\frac{π}{2}$时，S_△AOB面积最大，由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得．

解答 解：由题意可得动直线y=k（x-$\sqrt{2}$）过定点（$\sqrt{2}$，0），
曲线y=$\sqrt{1-{x^2}}$表示单位圆x²+y²=1的上半圆，
∵△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|sin∠AOB=$\frac{1}{2}$×1×1×sin∠AOB，
当∠AOB=$\frac{π}{2}$时，S_△AOB面积最大．
此时O到AB的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
直线AB方程可化为即kx-y-$\sqrt{2}$k=0，k＜0
由距离公式可得$\frac{|-\sqrt{2}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故答案为：$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

点评 本题考查直线和圆的位置关系，涉及三角形的面积公式和数形结合的思想，属中档题．