Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e，半焦距为c，B（0，1）为其上顶点，且a²，c²，b²，依次成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；
（Ⅱ）P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且．k_BP•k_BQ=e²
（i）试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；
（ii）△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，b=1，a²+b²=2c²，结合c²+b²=a²，可求椭圆的标准方程和离心率e；
（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合k_BP•k_BQ=e²，求出m，n的关系，即可得出直线PQ过定点M，并求出M点坐标；
（ii）确定P或Q在以BM为直径的圆T，与椭圆方程联立，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，b=1，a²+b²=2c²，
∵c²+b²=a²，
∴a²=3，c²=2，
∴$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线方程代入椭圆方程可得（3+m²）y²+2mny+n²-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2mn}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-3}{3+{m}^{2}}$，
∴k_BP•k_BQ=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=e²=$\frac{2}{3}$，
整理可得n²-2mn-3m²=0
∴n=-m或n=3m，
∴直线PQ的方程为x=my-m=m（y-1）（舍去）或x=my+3m=m（y+3），
∴直线PQ过定点（0，-3）；
（ii）由题意，∠PBQ≠90°，若∠BPM=90°或∠BQM=90°，则P或Q在以BM为直径的圆T上，即在圆x²+（y+1）²=4上，与椭圆方程联立得y=0或1（舍去），
∴P或Q只可以的椭圆的左右顶点，
∴直线PQ的斜率为±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．