Question

7．已知M（$\frac{9}{2}$，0），N（2，0），曲线C上的任意一点P满足：$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=$\frac{15}{4}$|$\overrightarrow{PN}$|．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设曲线C与x轴的交点分别为A、B，过N的任意直线（直线与x轴不重合）与曲线C交于R、Q两点，直线AR与BQ交于点S．问：点S是否在同一直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点P（x，y），通过M、N点坐标，可得$\overrightarrow{MN}$、$\overrightarrow{MP}$、$\overrightarrow{PN}$的坐标表示，利用$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=$\frac{15}{4}$|$\overrightarrow{PN}$|计算即可；
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线方程并代入曲线C中，化简后利用韦达定理计算即得结论；当直线的斜率不存在时，即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设点P（x，y），∵M（$\frac{9}{2}$，0），N（2，0），
∴$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{5}{2}$，0），$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{9}{2}$，y），$\overrightarrow{PN}$=（2-x，-y），
代入$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{MP}$=$\frac{15}{4}$|$\overrightarrow{PN}$|，化简得$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
所以曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（Ⅱ）结论：点S是在同一条直线x=$\frac{9}{2}$上．
理由如下：
（1）当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），
将直线方程代入曲线C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1中，
化简得：（5+9k²）x²-36k²x+（36k²-45）=0．
设点R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用根与系数的关系得：x₁+x₂=$\frac{36{k}^{2}}{5+9{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{36{k}^{2}-45}{5+9{k}^{2}}$，
在曲线C的方程中令y=0得x=±3，不妨设A（-3，0），B（3，0），
则k_BR=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$，则直线BR：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$（x-3）．
同理直线$AQ：y=\frac{{y{\;}_2}}{{{x_2}+3}}（{x+3}）$．
由直线方程BR、AQ，消去y，
得x=$\frac{\frac{3{y}_{1}}{{x}_{1}-3}+\frac{3{y}_{2}}{{x}_{2}+3}}{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+3}}$=$\frac{6{x}_{1}{x}_{2}+3（{x}_{1}+{x}_{2}）-18{x}_{2}}{5{x}_{1}{x}_{2}-4{x}_{2}-12}$=$\frac{6•\frac{36{k}^{2}-45}{5+9{k}^{2}}+3•\frac{36{k}^{2}}{5+9{k}^{2}}-18{x}_{2}}{5•\frac{36{k}^{2}-45}{5+9{k}^{2}}-4{x}_{2}-12}$=$\frac{9}{2}$，
所以点S是在直线x=$\frac{9}{2}$上；
（2）当直线的斜率不存在时，则直线方程为x=2．
可得点S的横坐标为$\frac{9}{2}$．
综合（1）（2）得，点S是在同一条直线x=$\frac{9}{2}$上．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．