Question

13．如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t₁时乙到达C地．
（1）求t₁与f（t₁）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t₁≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t₁，1]上的最大值是否超过3？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得t₁=$\frac{AC}{{v}_{乙}}$=$\frac{3}{8}$h，由余弦定理可得f（t₁）=PC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{P}^{2}-2AC•AP•cosA}$，代值计算可得；
（2）当t₁≤t≤$\frac{7}{8}$时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=$\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}$，当$\frac{7}{8}$＜t≤1时，f（t）=PB=5-5t，综合可得当$\frac{3}{8}$＜t≤1时，f（t）∈[0，$\frac{3\sqrt{41}}{8}$]，可得结论．

解答 解：（1）由题意可得t₁=$\frac{AC}{{v}_{乙}}$=$\frac{3}{8}$h，
设此时甲运动到点P，则AP=v_甲t₁=5×$\frac{3}{8}$=$\frac{15}{8}$千米，
∴f（t₁）=PC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{P}^{2}-2AC•AP•cosA}$
=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{15}{8}）^{2}-2×3×\frac{15}{8}×\frac{3}{5}}$=$\frac{3\sqrt{41}}{8}$千米；
（2）当t₁≤t≤$\frac{7}{8}$时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，
∴QB=AC+CB-8t=7-8t，PB=AB-AP=5-5t，
∴f（t）=PQ=$\sqrt{Q{B}^{2}+P{B}^{2}-2QB•PB•cosB}$
=$\sqrt{（7-8t）^{2}+（5-5t）^{2}-2（7-8t）（5-5t）0.8}$
=$\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}$，
当$\frac{7}{8}$＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，
∴f（t）=PB=AB-AP=5-5t
∴f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}，\frac{3}{8}≤t≤\frac{7}{8}}\\{5-5t，\frac{7}{8}＜t≤1}\end{array}\right.$
∴当$\frac{3}{8}$＜t≤1时，f（t）∈[0，$\frac{3\sqrt{41}}{8}$]，
故f（t）的最大值没有超过3千米．

点评 本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．