Question

9．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=$\frac{b}{c}$x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．

解答 解：设Q（m，n），由题意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{n}{m-c}=-\frac{c}{b}…①\\ \frac{n}{2}=\frac{b}{c}•\frac{m+c}{2}…②\\ \frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1…③\end{array}\right.$，
由①②可得：m=$\frac{{c}^{3}-{cb}^{2}}{{a}^{2}}$，n=$\frac{2{bc}^{2}}{{a}^{2}}$，代入③可得：$\frac{{（\frac{{c}^{3}-{cb}^{2}}{{a}^{2}}）}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{（\frac{2{bc}^{2}}{{a}^{2}}）}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
可得，4e⁶+e²-1=0．
即4e⁶-2e⁴+2e⁴-e²+2e²-1=0，
可得（2e²-1）（2e⁴+e²+1）=0
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．