Question

3．数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n-n（n-1），n=1，2，…，求S_n关于n的表达式．

Answer 1

分析 当n≥2时，S_n=n²a_n-n（n-1），把a_n=S_n-S_n-1代入化为$\frac{n+1}{n}$S_n-$\frac{n}{n-1}$S_n-1=1，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：当n≥2时，S_n=n²a_n-n（n-1），
∴S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），
化为$\frac{n+1}{n}$S_n-$\frac{n}{n-1}$S_n-1=1，
∴数列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴$\frac{n+1}{n}$S_n=1+n-1=n，
∴S_n=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．