Question

14．已知圆x²+y²=4，点A（$\sqrt{3}$，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA的最大值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 设|MA|=x，则可求得|OM|，|AO|的值，进而利用余弦定理得到cos∠OMA的表达式，利用均值不等式求得cos∠OMA的最小值，进而求得∠OMA的最大值．

解答 解：设|MA|=x，则|OM|=2，|AO|=$\sqrt{3}$
由余弦定理可知cos∠OMA=$\frac{4+{x}^{2}-3}{4x}$=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{1}{x}$）≥$\frac{1}{4}$×2=$\frac{1}{2}$（当且仅当x=1时等号成立）
∴∠OMA≤$\frac{π}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了点与圆的位置关系，余弦定理的应用，均值不等式求最值．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．