Question

2．已知|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，动点C满足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．给出以下命题：
①若x+y=1，则点C的轨迹为直线；
②若|x|+|y|=1，则点C的轨迹为矩形；
③若xy=1，则点C的轨迹为抛物线；
④若$\frac{x}{y}$=1，则点C的轨迹为直线；
⑤若x²+y²+xy=1，则点C的轨迹为圆．
以上命题正确的为①②⑤（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

分析 由题意可设A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），C（x'，y'），由条件可得x，y的关系，由x'，y'表示，对于①，容易判断轨迹为直线；对于②，结合对称性，可得轨迹为正方形；对于③，易得轨迹为双曲线；对于④，注意y不为0；对于⑤，化简整理，即可得到轨迹为圆．

解答 解：由题意可设A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），C（x'，y'），
$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．则x'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+y），y'=$\frac{1}{2}$（x-y），
即有x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'+y'，y═$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'-y'，
对于①，若x+y=1，则有$\sqrt{3}$x'=1，即x'=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则点C的轨迹为直线，则①正确；
对于②，若|x|+|y|=1，即有|$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'+y'|+|$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'-y'|=1，则图形关于x'，y'轴对称，
坐标原点对称，即有C的轨迹为矩形，则②正确；
对于③，若xy=1，则$\frac{1}{3}$x'²-y'²=1，C的轨迹为双曲线，则③错误；
对于④，若$\frac{x}{y}$=1，则y'=0且$\frac{\sqrt{3}}{3}$x'-y'≠0，则C的轨迹为两条射线，则④错误；
对于⑤，若x²+y²+xy=1，则$\frac{2}{3}$x'²+2y'²+$\frac{1}{3}$x'²-y'²=1，即为x'²+y'²=1，
则C的轨迹为圆，则有⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评 本题考查平面向量共线的坐标表示，主要考查动点的轨迹问题，注意化简整理，结合等价变形，属于中档题和易错题．