Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≤1}\\{x+\frac{6}{x}-6，x＞1}\end{array}\right.$，则f（f（-2））=$-\frac{1}{2}$，f（x）的最小值是2$\sqrt{6}$-6．

Answer 1

分析 由分段函数的特点易得f（f（-2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得．

解答 解：由题意可得f（-2）=（-2）²=4，
∴f（f（-2））=f（4）=4+$\frac{6}{4}$-6=-$\frac{1}{2}$；
∵当x≤1时，f（x）=x²，
由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0；
当x＞1时，f（x）=x+$\frac{6}{x}$-6，
由基本不等式可得f（x）=x+$\frac{6}{x}$-6≥2$\sqrt{x•\frac{6}{x}}$-6=2$\sqrt{6}$-6，
当且仅当x=$\frac{6}{x}$即x=$\sqrt{6}$时取到等号，即此时函数取最小值2$\sqrt{6}$-6；
∵2$\sqrt{6}$-6＜0，∴f（x）的最小值为2$\sqrt{6}$-6
故答案为：-$\frac{1}{2}$；2$\sqrt{6}$-6

点评 本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．