Question

5．设方程（m+1）|e^x-1|-1=0的两根分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），方程|e^x-1|-m=0的两根分别为x₃，x₄（x₃＜x₄）．若m∈（0，$\frac{1}{2}$），则（x₄+x₁）-（x₃+x₂）的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，ln$\frac{3}{5}$）
• C． （ln$\frac{3}{5}$，0）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 由条件求得x₁，x₂，x₃，x₄，得到（x₄+x₁）-（x₃+x₂）=ln$\frac{{m}^{2}+m}{2-m-{m}^{2}}$．令t=$\frac{{m}^{2}+m}{2-m-{m}^{2}}$，则原式=lnt，利用不等式的基本性质求得$\frac{1}{t}$的范围，可得t的范围，
从而求得lnt的范围，即为所求．

解答 解：由方程（m+1）|e^x-1|-1=0的两根为x₁，x₂（x₁＜x₂），可得$1-{e}^{{x}_{1}}=\frac{1}{m+1}$，${e}^{{x}_{2}}-1=\frac{1}{m+1}$，
求得x₁=ln$\frac{m}{m+1}$，x₂=ln$\frac{m+2}{m+1}$．
由方程|e^x-1|-m=0的两根为x₃，x₄（x₃＜x₄），可得$1-{e}^{{x}_{3}}=m，{e}^{{x}_{4}}-1=m$，
求得x₃=ln（1-m），x₄=ln（1+m）．
∴（x₄+x₁）-（x₃+x₂）=lnm-ln$\frac{（2+m）（1-m）}{m+1}$=ln$\frac{{m}^{2}+m}{2-m-{m}^{2}}$．
令t=$\frac{{m}^{2}+m}{2-m-{m}^{2}}$，则原式=lnt，且$\frac{1}{t}=-1+\frac{2}{{m}^{2}+m}=-1+\frac{2}{（m+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$．
由m∈（0，$\frac{1}{2}$），可得 0＜$（m+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$＜$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{（m+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}＞\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{t}=-1+\frac{2}{（m+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}＞\frac{5}{3}$，则0$＜t＜\frac{3}{5}$．
故原式=lnt∈（-∞，ln$\frac{3}{5}$），
故选：B．

点评 本题主要考查指数函数的综合应用，不等式的基本性质，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．