Question

9．设函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1时，求函数f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在[-1，1]上存在零点，0≤b-2a≤1，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[-1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；
（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且-1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围．

解答 解：（Ⅰ）当b=$\frac{{a}^{2}}{4}$+1时，f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+1，对称轴为x=-$\frac{a}{2}$，
当a≤-2时，函数f（x）在[-1，1]上递减，则g（a）=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+2；
当-2＜a≤2时，即有-1≤-$\frac{a}{2}$＜1，则g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=1；
当a＞2时，函数f（x）在[-1，1]上递增，则g（a）=f（-1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+2．
综上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+a+2，a≤-2}\\{1，-2＜a≤2}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-a+2，a＞2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且-1≤t≤1，
则$\left\{\begin{array}{l}{s+t=-a}\\{st=b}\end{array}\right.$，
由于0≤b-2a≤1，
由此$\frac{-2t}{2+t}$≤s≤$\frac{1-2t}{2+t}$（-1≤t≤1），
当0≤t≤1时，$\frac{-2{t}^{2}}{t+2}$≤st≤$\frac{t-2{t}^{2}}{t+2}$，
由-$\frac{2}{3}$≤$\frac{-2{t}^{2}}{t+2}$≤0，由$\frac{t-2{t}^{2}}{t+2}$=9-[（2（t+2）+$\frac{10}{t+2}$]≤9-2$\sqrt{20}$，
得-$\frac{1}{3}$≤$\frac{t-2{t}^{2}}{t+2}$≤9-4$\sqrt{5}$，
所以-$\frac{2}{3}$≤b≤9-4$\sqrt{5}$；
当-1≤t＜0时，$\frac{t-2{t}^{2}}{t+2}$≤st≤$\frac{-2{t}^{2}}{t+2}$，
由于-2≤$\frac{-2{t}^{2}}{t+2}$＜0和-3≤$\frac{t-2{t}^{2}}{t+2}$＜0，所以-3≤b＜0，
故b的取值范围是[-3，9-4$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题．