Question

4．已知实数x，y满足x²+y²≤1，则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是15．

Answer 1

分析 由题意可得2x+y-4＜0，6-x-3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=-3x-4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值．

解答 解：如图，

由x²+y²≤1，
可得2x+y-4＜0，6-x-3y＞0，
则|2x+y-4|+|6-x-3y|=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10，
令z=-3x-4y+10，得$y=-\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}+\frac{5}{2}$，
如图，

要使z=-3x-4y+10最大，则直线$y=-\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}+\frac{5}{2}$在y轴上的截距最小，
由z=-3x-4y+10，得3x+4y+z-10=0．
则$\frac{|z-10|}{5}=1$，即z=15或z=5．
由题意可得z的最大值为15．
故答案为：15．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．