Question

4．若a，b∈（0，2），则函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+2x²+4bx+1存在极值的概率为（　　）

• A． $\frac{1+2ln2}{4}$
• B． $\frac{3-2ln2}{4}$
• C． $\frac{1+ln2}{2}$
• D． $\frac{1-ln2}{2}$

Answer 1

分析 利用导数求得函数有极值的条件，进而转化为几何概型求得概率．

解答 解：f'（x）=ax²+4x+4b
因为函数f（x）存在极值，所以f'（x）=0有解
则△=16-16ab≥0，即ab≤1．
令ab=1，b=$\frac{1}{a}$，

当b=2，a=$\frac{1}{2}$，
当a=2，b=$\frac{1}{2}$，

∴${∫}_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{a}-\frac{1}{2}da$=lna-1-ln$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=2ln2-$\frac{3}{4}$
三块小矩形的面积为$2×\frac{1}{2}+\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=\frac{7}{4}$，
∴S=2ln2+1，
∴$\frac{S}{{S}_{正}}=\frac{2ln2+1}{4}$，
故选A

点评 主要考查函数有极值的条件和利用几何概型解题的方法．在高考中属常考题型．