Question

11．已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），n∈N^*．
（1）若b_n=3n+5，且a₁=1，求{a_n}的通项公式；
（2）设{a_n}的第n₀项是最大项，即a_n0≥a_n（n∈N*），求证：{b_n}的第n₀项是最大项；
（3）设a₁=3λ＜0，b_n=λⁿ（n∈N^*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N^*，a_n≠0，且$\frac{a_m}{a_n}∈（{\frac{1}{6}，6}）$．

Answer 1

分析 （1）把b_n=3n+5代入已知递推式可得a_n+1-a_n=6，由此得到{a_n}是等差数列，则a_n可求；
（2）由a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，结合递推式累加得到a_n=2b_n+a₁-2b₁，求得${b}_{n}=\frac{1}{2}（{a}_{n}+2{b}_{1}-{a}_{1}）$，进一步得到
${b}_{{n}_{0}}=\frac{1}{2}（{a}_{{n}_{0}}+2{b}_{1}-{a}_{1}）≥\frac{1}{2}（{a}_{n}+2{b}_{1}-{a}_{1}）$得答案；
（3）由（2）可得${a}_{n}=2{λ}^{n}+λ$，然后分-1＜λ＜0，λ=-1，λ＜-1三种情况求得a_n的最大值M和最小值m，再由$\frac{M}{m}$∈（$\frac{1}{6}，6$）列式求得λ的范围．

解答 （1）解：∵a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n），b_n=3n+5，
∴a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=2（3n+8-3n-5）=6，
∴{a_n}是等差数列，首项为a₁=1，公差为6，
则a_n=1+（n-1）×6=6n-5；
（2）∵a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（b_n-b_n-1）+2（b_n-1-b_n-2）+…+2（b₂-b₁）+a₁
=2b_n+a₁-2b₁，
∴${b}_{n}=\frac{1}{2}（{a}_{n}+2{b}_{1}-{a}_{1}）$，
∴${b}_{{n}_{0}}=\frac{1}{2}（{a}_{{n}_{0}}+2{b}_{1}-{a}_{1}）≥\frac{1}{2}（{a}_{n}+2{b}_{1}-{a}_{1}）$．
∴数列{b_n}的第n₀项是最大项；
（3）由（2）可得${a}_{n}=2{λ}^{n}+λ$，
①当-1＜λ＜0时，${a}_{2n}=2（{λ}^{2}）^{n}+λ$单调递减，有最大值$M={a}_{2}=2{λ}^{2}+λ$；
${a}_{2n-1}=2{λ}^{2n-1}+λ$单调递增，有最小值m=a₁=3λ＜0，
∴$\frac{{a}_{m}}{{a}_{n}}$的最小值为$\frac{M}{m}=\frac{2λ+1}{3}$，最大值为$\frac{m}{M}=\frac{3}{2λ+1}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2λ+1}{3}＞\frac{1}{6}}\\{\frac{3}{2λ+1}＜6}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{4}＜λ＜0$．
∴λ∈（$-\frac{1}{4}，0$）．
②当λ=-1时，a_2n=1，a_2n-1=-3，
∴M=3，m=-1，不满足条件．
③当λ＜-1时，当n→+∞时，a_2n→+∞，无最大值；
当n→+∞时，a_2n-1→-∞，无最小值．
综上所述，λ∈（-$\frac{1}{4}$，0）时满足条件．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．