Question

5．已知复数z=x+yi（x，y∈R），且有$\frac{x}{i-1}$=1+yi，$\overline z$是z的共轭复数，那么$\frac{1}{\overline{z}}$的虚部为（　　）

• A． -$\frac{1}{5}$i
• B． $\frac{1}{5}$
• C． -$\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$i

Answer 1

分析 利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求得x，y的值，得到$\overline{z}$，代入$\frac{1}{\overline{z}}$，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解答 解：由$\frac{x}{i-1}$=$\frac{x（-1-i）}{（-1+i）（-1-i）}=-\frac{x}{2}-\frac{x}{2}i$=1+yi，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{x}{2}=1}\\{y=-\frac{x}{2}}\end{array}\right.$，即x=-2，y=1．
∴$\overline{z}=-2-i$，则$\frac{1}{\overline{z}}=\frac{1}{-2-i}$=$\frac{-2+i}{（-2-i）（-2+i）}=-\frac{2}{5}+\frac{i}{5}$．
∴$\frac{1}{\overline{z}}$的虚部为$\frac{1}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．