Question

4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），半圆M：x²+2x+y²=0（y≥0），过点P（-3，0）与半圆M相切于点A的直线l，与抛物线C有且只有一个公共点B．
（1）求抛物线C的方程及点A，B的坐标；
（2）过点B作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于S，T两点（不同于坐标原点O），求证：直线ST∥直线AO．

Answer 1

分析 （1）通过直线l与半圆M相切可得圆心到直线l的距离为1，可得直线l的斜率，联立直线l与抛物线C的方程，利用韦达定理计算即得结论；
（2）设直线BS、BT的两条直线斜率分别为t，-t，分别联立直线BS、BT与抛物线方程，利用韦达定理B、T点纵坐标，根据斜率公式计算即可．

解答 （1）解：半圆M方程化为：（x+1）²+y²=1（y≥0），
设l的方程为y=k（x+3），即kx-y+3k=0，
由题意得得k＞0，又d_M-l=$\frac{|-k+3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+3），
代入抛物线C：y²=2px（p＞0）方程，得x²+（6-6p）x+9=0，
由△=（6-6p）²-36=0，得p=2，
进而得B（3，2$\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+3）}\\{{x}^{2}+2x+{y}^{2}=0（y＞0）}\end{array}\right.$，解得A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
故抛物线C的方程为：y²=4x，点A坐标为A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），点B坐标为B（3，2$\sqrt{3}$）；
（2）证明：设直线BS、BT的两条直线斜率分别为t，-t，
则直线BS为：y-2$\sqrt{3}$=t（x-3），代入抛物线方程y²=4x，
消去x得：ty²-4y+8$\sqrt{3}$-12t=0，
由韦达定理可得y_B+y_S=$\frac{4}{t}$，
∴y_S=$\frac{4}{t}$-2$\sqrt{3}$，同理可得y_T=-$\frac{4}{t}$-2$\sqrt{3}$，
∴k_ST=$\frac{{y}_{S}-{y}_{T}}{{x}_{S}-{x}_{T}}$=$\frac{{y}_{S}-{y}_{T}}{\frac{{{y}_{S}}^{2}-{{y}_{T}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{S}-{y}_{T}}$=$\frac{4}{-4\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由（1）知A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴k_AO=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即k_ST=k_AO，
又两直线直线ST与直线AO不重合，
∴直线ST∥直线AO．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及韦达定理、斜率计算公式等知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．