Question

16．已知△ABC中，点A（-1，0），B（1，0），动点C满足$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=λ（常数λ＞1），C点轨迹为i．
（I）试求曲线i的轨迹方程；
（II）当λ=$\sqrt{3}$时，过定点B（1，0）的直线与曲线交于P，Q两点，N是曲线上不同于P，Q的动点，试求△NPQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）通过已知条件及正弦定理可得CB+CA=2λ（定值）且2λ＞2，由椭圆的定义计算即可；
（II）当λ=$\sqrt{3}$时，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x≠±$\sqrt{3}$）．分过定点B（1，0）的直线与x轴重合与不重合两种情况讨论．对于过定点B（1，0）的直线不与x轴重合时，通过
设l方程，并与椭圆联立，利用韦达定理及点到直线的距离公式、三角形面积公式、换元法以及函数的单调性，计算即可．

解答 解：（I）在△ABC中，根据正弦定理，
可得$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{CB+CA}{AB}$，即$\frac{CB+CA}{AB}$=λ，
∵AB=2，∴CB+CA=2λ（定值），且2λ＞2，
∴动点C的轨迹方程i为椭圆（除去与A、B共线的两个点），
设其标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴a²=λ²，b²=λ²-1，
∴所求曲线的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{{λ}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}-1}$=1（x≠±λ）；
（II）当λ=$\sqrt{3}$时，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（x≠±$\sqrt{3}$）．
①过定点B（1，0）的直线与x轴重合时，△NPQ面积无最大值；
②过定点B（1，0）的直线不与x轴重合时，
设l方程为：x=my+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
若m=0，∵x≠±$\sqrt{3}$，∴此时△NPQ面积无最大值；
根据椭圆的几何性质，不妨设m＞0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（2m²+3）y²+4my-4=0，
由韦达定理，得y₁+y₂=-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{4\sqrt{3}（1+{m}^{2}）}{3+2{m}^{2}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（3+2m²）y²+4mny+2n²-6=0，
由△=（4mn）²-4（3+2m²）（2n²-6）=0，解得n²=2m²+3（n＜-$\sqrt{3}$），
又点N到直线l的距离d=$\frac{|n-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}•$d•|PQ|=$\frac{1}{2}×$$\frac{|n-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$×$\frac{2\sqrt{3}（1+{m}^{2}）}{3+2{m}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}|n-1|\sqrt{1+{m}^{2}}}{3+2{m}^{2}}$，
∴S²=$\frac{12（n-1）^{2}（1+{m}^{2}）}{（3+2{m}^{2}）^{2}}$，
将n²=2m²+3代入，得S²=6（1-$\frac{1}{n}$）²（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$），
令t=$\frac{1}{n}$∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），设函数f（t）=6（1-t）²（1-t²），
则f′（t）=-12（t-1）²（2t+1），
∵当t∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）时f′（t）＞0，当t∈（-$\frac{1}{2}$，0）时f′（t）＜0，
∴f（t）在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{1}{2}$）上是增函数，在（-$\frac{1}{2}$，0）上是减函数，
∴f（t）_min=$f（-\frac{1}{2}）$=$\frac{81}{8}$，
故m²=$\frac{1}{2}$时，△NPQ的面积最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆的方程、三角形的面积最大值，考查分类讨论的思想、考查计算求解能力，涉及到韦达定理、点到直线的距离公式、三角形面积公式、换元法以及函数的单调性等知识，注意解题方法的积累，属于难题．