Question

11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点P（1，$\frac{3}{2}$），离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记△F₁MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），△F₁MN的内切圆半径为r，运用等积法和韦达定理，弦长公式，结合基本不等式即可求得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
 解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），△F₁MN的内切圆半径为r，
则${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$（|MN|+|MF₁|+|NF₁|）r=$\frac{1}{2}$×8r=4r，
所以要使S取最大值，只需${S}_{△{F}_{1}MN}$最大，
则${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|，
设直线l的方程为x=ty+1，
将x=ty+1代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
可得（3t²+4）y²+6ty-9=0（*）
∵△＞0恒成立，方程（*）恒有解，
y₁+y₂=$\frac{-6t}{4+3{t}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-9}{4+3{t}^{2}}$，
${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{1+{t}^{2}}}{4+3{t}^{2}}$，
记m=$\sqrt{1+{t}^{2}}$（m≥1），
${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12m}{3{m}^{2}+1}$=$\frac{12}{3m+\frac{1}{m}}$在[1，+∞）上递减，
当m=1即t=0时，（${S}_{△{F}_{1}MN}$）_max=3，
此时l：x=1，S_max=$\frac{9}{16}$π．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．