Question

19．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₇-1）³+2012（a₇-1）=1，（a₂₀₀₆-1）³+2012（a₂₀₀₆-1）=-1，则下列结论正确的是（　　）

• A． S₂₀₁₂=-2012，a₂₀₁₂＞a₇
• B． S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₂＞a₇
• C． S₂₀₁₂=-2012，a₂₀₁₂＜a₇
• D． S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₂＜a₇

Answer 1

分析 依题意，利用和的立方公式可得a₇+a₂₀₀₆=2，再利用等差数列的求和公式可得S₂₀₁₂=2012；令f（x）=x³+2012x，利用导数易知y=f（x）为R上的增函数，从而可得f（a₇-1）＞f（a₂₀₀₆-1），即a₇＞a₂₀₀₆，故等差数列{a_n}为递减数列，于是可得答案．

解答 解：∵（a₇-1）³+2012（a₇-1）=1，（a₂₀₀₆-1）³+2012（a₂₀₀₆-1）=-1，
∴（a₇-1）³+（a₂₀₀₆-1）³+2012（a₇-1）+2012（a₂₀₀₆-1）=0，
即[（a₇-1）+（a₂₀₀₆-1）][（a₇-1）²+（a₂₀₀₆-1）²-（a₇-1）（a₂₀₀₆-1）]+2012[（a₇-1）+（a₂₀₀₆-1）]=0，
整理得：[（a₇-1）+（a₂₀₀₆-1）]{[（a₇-1）-$\frac{1}{2}$（a₂₀₀₆-1）]²+$\frac{3}{4}$（a₂₀₀₆-1）²+2012]}=0，
∴（a₇-1）+（a₂₀₀₆-1）=0，即a₇+a₂₀₀₆=2．
∵数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，
∴S₂₀₁₂=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2012}）×2012}{2}$=$\frac{（{a}_{7}+{a}_{2006}）×2012}{2}$=2012，可排除A、C；
令f（x）=x³+2012x，则f′（x）=3x²+2012＞0，
∴y=f（x）为R上的增函数，又f（a₇-1）=1＞-1=f（a₂₀₀₆-1），
∴a₇-1＞a₂₀₀₆-1，即a₇＞a₂₀₀₆，故等差数列{a_n}为递减数列，
∴a₇＞a₂₀₁₂，可排除B，
故选：D．

点评 本题考查数列递推关系式的应用，考查构造函数思想及利用导数法判断函数的单调性，求得a₇+a₂₀₀₆=2及等差数列{a_n}为递减数列是关键，属于难题．