Question

4．某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人．
（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；
（2）学校从成绩在[70，100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过复试的概率均为$\frac{1}{2}$，设成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）求出成绩在区间[90，100]内的频率为0.005×10=0.05，即可求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；
（2）确定从这一小组中抽出的人数，依题意知$ξ～B（5，\frac{1}{2}）$，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在区间[90，100]内的频率为0.005×10=0.05，所以$N=\frac{2}{0.05}=40$，利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．
所以，估计这次考试的平均分是7（2分）．
由频率分布直方图可知，成绩分布在[70，80]间的频率最大，所以众数的估计值为区间[70，80]的中点值7（5分）…（6分）
（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）
（2）由（1）知，成绩在[70，100]内的学生共有40×（0.3+0.25+0.05）=24人，成绩在[80，90）这一小组的人数有40×0.025=10人．所以从这一小组中抽出的人数为$\frac{12}{24}×10=5$人，
依题意知$ξ～B（5，\frac{1}{2}）$，$P（x=k）=C_5^k{（\frac{1}{2}）^k}•{（\frac{1}{2}）^{5-k}}=C_5^k{（\frac{1}{2}）^5}$，$P（ξ=0）=C_5^0{（\frac{1}{2}）^5}=\frac{1}{32}$，$P（ξ=1）=C_5^1{（\frac{1}{2}）^5}=\frac{5}{32}$，$P（ξ=2）=C_5^2{（\frac{1}{2}）^5}=\frac{10}{32}$，$P（ξ=3）=C_5^3{（\frac{1}{2}）^5}=\frac{10}{32}$，$P（ξ=4）=C_5^4{（\frac{1}{2}）^5}=\frac{5}{32}$，$P（ξ=5）=C_5^5{（\frac{1}{2}）^5}=\frac{1}{32}$，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$

数学期望$Eξ=5×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．