Question

8．如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，DE交AB于点F．
（1）求证：O，C，D，F四点共圆；
（2）求证：PF•PO=PA•PB．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OE，证明∠AOC=∠CDE，可得O，C，D，F四点共圆；
（2）利用割线定理，结合△PDF∽△POC，即可证明PF•PO=PA•PB．

解答 证明：（1）连接OC，OE，
因为$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，所以∠AOC=∠AOE=$\frac{1}{2}$∠COE，…（2分）
又因为∠CDE=$\frac{1}{2}$∠COE，
则∠AOC=∠CDE，
所以O，C，D，F四点共圆．…（5分）
（2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线，
所以PD•DC=PA•PB，…（7分）
因为O，C，D，F四点共圆，
所以∠PDF=∠POC，
又因为∠DPF=∠OPC，
则△PDF∽△POC，
所以$\frac{PD}{PO}=\frac{PF}{PC}$，即PF•PO=PD•PC，
则PF•PO=PA•PB．…（10分）

点评 本题考查四点共圆，考查割线定理，三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．