已知四边形ABCD中.AB=BC.∠ABC=120°.∠MBN=60°.∠MBN绕B点旋转.它的两边分别交AD.DC于E.F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时.易证AE+CF=EF,(1)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时.在图2的情况下.上述结论是否成立?若成立.请给予证明,(2)在图3的情况下.上述结论是否成立?若成立.请给予证明,若不成立.线段AE.CF.EF又有怎样的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2的情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
（2）在图3的情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

分析（1）将RT△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG+CF=AE+CF，易证∠GBF=∠EBF=60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解题；
（2）将RT△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG-CF=AE-CF，易证∠GBF=∠EBF=60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解题．

解答解：（1）如图2，将RT△ABE顺时针旋转120°，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，
∴BG=BE，FG=CG+CF=AE+CF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠ABE=∠CBG，
∴∠GBF=60°，
在△GBF和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBF=∠EBF=60°}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF；
（2）不成立，新结论为EF=AE-CF．
理由：如图3，将RT△ABE顺时针旋转120°，

∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，∠ABE=∠CBG，
∴BG=BE，FG=CG-CF=AE-CF，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，
∵∠MBN=60°，
∴∠GBF=60°，
在△BFG和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBF=∠EBF=60°}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF=EF，
∴EF=AE-CF．

点评本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证△BFG≌△BFE是解题的关键．

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