Question

5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PB⊥平面DEF；
（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD；
（2）取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH，确定∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角即可．

解答 （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC．∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．
又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．
∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD…（8分）
（2）解：取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH．
∵E是PC中点，
∴$EH∥CD，EH=\frac{1}{2}CD$，
∴EBGH为平行四边形，…（9分）
∵PD⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD连接AH，…（10分）
∴∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角．…（13分）
∵AD=2DC，
∴在Rt△ADH中，AH=$\frac{\sqrt{17}}{2}$DC …（14分）
∴在Rt△AGH中，AG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$CD，
∴sin∠GHA=$\frac{AG}{HG}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．…（15分）

点评 本题考查了线线、线面平行的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行；考查直线BE与平面PAD所成角的正弦值，属于中档题．