Question

17．已知函数f（x）=sinπx和函数g（x）=cosπx在区间[0，2]上的图象交于A，B两点，则△OAB面积是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{2}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{5\sqrt{2}}{8}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 由sinπx=cosπx=sin（$\frac{π}{2}-πx$），x∈[0，2]，可解得πx=$\frac{π}{2}-πx$+2kπ，k∈Z，可解得坐标：A（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\frac{5}{4}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求得直线AB所在的方程为：y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\sqrt{2}$（x-$\frac{1}{4}$），联立方程y=0，可解得OC=$\frac{3}{4}$，即可求得△OAB面积．

解答 解：如图所示：∵sinπx=cosπx=sin（$\frac{π}{2}-πx$），x∈[0，2]，
∴可解得：πx=π-（$\frac{π}{2}-πx$）+2kπ，k∈Z（无解），或πx=$\frac{π}{2}-πx$+2kπ，k∈Z
∴可解得：x=$\frac{1}{4}$+k，k∈Z，且x∈[0，2]，
∴x=$\frac{1}{4}$，或$\frac{5}{4}$，
∴解得坐标：A（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\frac{5}{4}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
∴解得直线AB所在的方程为：y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\sqrt{2}$（x-$\frac{1}{4}$），联立方程y=0，可解得：x=$\frac{3}{4}$，及OC=$\frac{3}{4}$．
∴S_△OAB=S_△OAC+S_△COB=$\frac{1}{2}×OC×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×OC×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦函数，余弦函数的图象和性质，考查了直线的方程与三角形面积的求法，综合性较强，考查了数形结合能力和转化思想，属于中档题．