Question

10．已知抛物线C：y²=2px （p＞0）的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}$的值等于3．

Answer 1

分析 设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，求出A、B的坐标，然后求其比值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{8}{3}$p，即有x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，
由直线l倾斜角为60°，
则直线l的方程为：y-0=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
即y=$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$p，联立抛物线方程，
消去y并整理，得
12x²-20px+3p²=0，
则x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，可得x₁=$\frac{3}{2}$p，x₂=$\frac{1}{6}$p，
则$\frac{|AF|}{|BF|}$=$\frac{\frac{3}{2}p+\frac{1}{2}p}{\frac{1}{2}p+\frac{1}{6}p}$=3，
故答案为：3．

点评 本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．