Question

1．2014巴西世界杯结束后，某网站针对世界杯情况进行了调查，参与调查的人主要集中在[20，50]岁之间，若规定；观看世界杯直播32场（含）以下者，称为“非球迷”，观看比赛直播超过32场这成为“球迷”，得到如下统计表：

分组编号	年龄分组	球迷	所占比例
1	[20，25]	1200	0.5
2	[25，30]	1800	0.6
3	[30，35]	1000	0.5
4	[35，40]	a	0.4
5	[40，45]	300	0.2
6	[45，50]	200	0.1

若参与调查的“非球迷”总人数为7600人．
（1）求a的值；
（2）从年龄在[20，35）的“球迷”中按照年龄区间分层抽样的方法抽取20人
①从这20人中随机抽取2人，求这2人恰好属于同一年龄区间的概率
②从这20人中随机抽取2人，用ζ表示年龄在[30，35）之间的人数，求ξ的分布列及期望值E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）利用所给比例，结合参与调查的“非球迷”总人数为7600人，建立方程，即可求a的值；
（2）确定年龄在[20，25）上的应该抽取6人，年龄在[25，30）上的应该抽取9人，年龄在[30，35）上的应该抽取5人．①利用古典概型的概率公式可求这2人恰好属于同一年龄区间的概率；
②确定ξ的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，写出分布列然后求解期望．

解答 解：（1）因为“非球迷”总人数为7600人，
所以1200×0.5+$1800×\frac{1-0.6}{0.6}$+1000+a×$\frac{1-0.4}{0.4}$+300×$\frac{1-0.2}{0.2}$+200×$\frac{1-0.1}{0.1}$=7600，
所以a=800；
（2）年龄在[20，35）的球迷共有1200+1800+1000=4000人，则年龄在[20，25）上的应该抽取6人，年龄在[25，30）上的应该抽取9人，年龄在[30，35）上的应该抽取5人．
①从这20人中随机抽取2人，求这2人恰好属于同一年龄区间的概率为P=$\frac{{C}_{6}^{2}+{C}_{9}^{2}+{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{61}{190}$；
②ζ的可能取值为0，1，2，则
P（ζ=0）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，P（ζ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{15}{38}$，P（ζ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{1}{19}$
ξ的分布列

ξ	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{1}{19}$

期望值E（ξ）=0×$\frac{21}{38}$+1×$\frac{15}{38}$+2×$\frac{1}{19}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，古典概型的概率的求法，考查计算能力．